Question

2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，D、E分别为边AB、AC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AE-ED-DB运动，到点B停止．点P在折线AE-ED上以每秒1个单位的速度运动，在DB上以每秒$\sqrt{5}$个单位的速度运动．过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边在PQ右侧作正方形PQMN，使点M落在线段BC上．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）在整个运动过程中，求正方形PQMN的顶点N落在AB边上时对应的t的值；
（2）连结BE，设正方形PQMN与△BED重叠部分图形的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）当正方形PQMN顶点P运动到与点E重合时，将正方形PQMN绕点Q逆时针旋转60°得正方形P₁QM₁N₁，问在直线DE与直线AC上是否存在点G和点H，使△GHP₁是等腰直角三角形？若存在，请求出EG的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分两种情形，①当点P在AE上时，由△APN∽△ACB可以解决问题，②当点P在ED上时，PN=3，求出AE+EP即可；
（2）当0＜t≤3时，重叠部分图形为三角形，当3≤t≤6时，重叠部分图形为直角梯形，当6＜t≤9，重叠部分是五边形，当9＜t≤12，重叠部分是梯形，分四种情况分别求出S与t之间的函数关系式即可；
（3）分三种情形讨论：①当∠P₁GH=90°，②当∠P₁HG=90°，③当∠GP₁H=90°，分别进行分析判断．

解答 解：（1）①如图1，当点P在AE上时，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{PN}{BC}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{6-t}{12}$，
∴t=2；
②如图2，当点P在ED上时，PN=3，
∴AE+EP=3+（6-3）=6，
∴t=6÷1=6；
综上，当t的值为2或6秒时，正方形PQMN的顶点N落在AB边上；

（2）如图，当0＜t≤3时，重叠部分图形为三角形EGF，

由AP=t可得，PC=PN=EG=6-t，
由△EGF∽△BCE可得，$\frac{GF}{EG}=\frac{EC}{BC}$
即$\frac{GF}{6-t}=\frac{3}{12}$，
∴GF=$\frac{3}{2}-\frac{t}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×（6-t）×（$\frac{3}{2}-\frac{t}{4}$）=$\frac{1}{8}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{2}$（0＜t≤3）；
如图，当3≤t≤6时，重叠部分图形为直角梯形PNFH，

由AE+EP=t可得，EP=t-3，
由△EPH∽△BCE∽△ENF可得，PH=$\frac{t-3}{4}$，NF=$\frac{t}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×3×（$\frac{t-3}{4}$+$\frac{t}{4}$）=$\frac{3}{4}t-\frac{9}{8}$（3≤t≤6）；
如图，当6＜t≤9，重叠部分是五边形PDKFH，

由AE+EP=t可得，EP=t-3，
由△EPH∽△BCE∽△ENF可得，PH=$\frac{t-3}{4}$，NF=$\frac{t}{4}$，
DN=t-3+3-6=t-6，由△DNK∽△DEA可得，NK=$\frac{t-6}{2}$，
∴S=S_梯形PNFH-S_△DNK=（$\frac{3}{4}t-\frac{9}{8}$）-$\frac{1}{2}$×（t-6）×$\frac{t-6}{2}$=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{15}{4}t$-$\frac{81}{8}$（6＜t≤9）；
如图，当9＜t≤12，重叠部分是梯形PKFH，

由DP=$\sqrt{5}$（t-9），△DRP∽△DEA可得，DR=2（t-9），RP=t-9，
由△ERH∽△BCE可得，RH=$\frac{t}{2}-3$，
∴PH=6-$\frac{1}{2}$t，
∵PQ=3-RP=12-t，
∴PN=12-t，
由△PNK∽△DEA可得，NK=6-$\frac{t}{2}$，
∵BM=BC-QC-QM=12-t，
∴又△FBM∽△ECB可得，FM=3-$\frac{t}{4}$，
∴KF=3-$\frac{t}{4}$，
∴S=$\frac{[（3-\frac{t}{4}）+（6-\frac{t}{2}）]×（12-t）}{2}$=$\frac{3}{8}{t}^{2}-9t+54$（9＜t≤12）；
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{2}（0＜t≤3）}\\{\frac{3}{4}t-\frac{9}{8}（3＜t≤6）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{2}+\frac{15}{4}t-\frac{81}{8}（6＜t≤9）}\\{\frac{3}{8}{t}^{2}-9t+54（9＜t≤12）}\end{array}\right.$；
（3）存在．
理由：过P₁作P₁S⊥AC于S，P₁R⊥DE于R，
∵∠P₁QS=60°，P₁Q=3，
∴P₁S=RE=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，QS=$\frac{3}{2}$，
∴P₁R=SE=$\frac{3}{2}$．
①当∠P₁GH=90°时，如图：

可证△P₁RG≌△GEH，
则EG=P₁R=$\frac{3}{2}$；
如图：

同理可得EG=P₁R=$\frac{3}{2}$．
②当∠P₁HG=90°时，如图：

可证△P₁SH≌△HEG，
∴EH=P₁S=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，EG=SH，
∴EG=EH+SE=$\frac{3}{2}\sqrt{3}+\frac{3}{2}$，
或如图：

EG=EH-SE=$\frac{3}{2}\sqrt{3}-\frac{3}{2}$；
③当∠GP₁H=90°时，
∵P₁S≠P₁R，∴△P₁SH与△P₁RG不可能全等．
∴P₁H≠P₁G，∴不成立．
综上所述，EG的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{2}\sqrt{3}+\frac{3}{2}$或$\frac{3}{2}\sqrt{3}-\frac{3}{2}$．

点评 本题以旋转为背景，主要考查了相似形的综合应用、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，难度较大．解题的关键是根据题意正确画出图形，并学会利用分割法求面积．此外要注意分类讨论思想在解题中的运用，分类时做到不重复，不遗漏．