Question

【题目】已知，以为直径的⊙分别交于点，于点，连接，若．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；

（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长．

（1）证明：∵ED=EC，

∴∠EDC=∠C，

∵∠EDC=∠B，（∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，∴∠EDC=∠B）

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）如图所示，连接AE，

∵AB为直径，

∴AE⊥BC，

由（1）知AB=AC，

∴BE=CE=BC=，

∵△CDE∽△CBA，

∴，

∴CECB=CDCA，AC=AB=4，

∴，

∴CD=．