Question

【题目】如图，是的直径，是上一点，连接、．为弧中点，过点作，垂足为，交于点，，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，且，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC．由点C为的中点，得到，求得∠COB=∠COF，根据平行线的性质得到∠OCG=∠OMB=90°，于是得到CG是⊙O的切线；

（2）连接BC．由（1）知，∠COB=∠COF=∠BOF=60°，推出△OBC为等边三角形．得到∠OCD=30°，则EM=CE=2，根据勾股定理得到CM=，求得OM=CM=，于是得到结论．

（1）证明：连接OC．

．∵点C为的中点，

∴，

∴∠COB=∠COF，

∵OB=OF，

∴OC⊥BF，

设垂足为M，则∠OMB=90°，

∵CG∥FB，

∴∠OCG=∠OMB=90°，

∴CG是⊙O的切线；

（2）连接BC．

由（1）知，∠COB=∠COF=∠BOF=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC为等边三角形．

∴∠OCD=30°，则EM=CE=2，

∴CM=.

根据等腰三角形“三线合一”得OM=CM=，

∴OC=4，

即⊙O的半径为4．