Question

15．如图，在?ABCD中，AB=5，BC=8，BC边上的高AH=3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由勾股定理求出BH=4，得出CH=4，由勾股定理求出CA，当⊙C经过点A时，CP=CA=5；
（2）先证明四边形APCE是平行四边形，得出CP=CE，证出四边形APCE是菱形，得出PA=CP，设PA=CP=x，则PH=4-x，由勾股定理得出方程，解方程求出半径；作CM⊥EF于M，则CM=AH=3，由垂径定理得出ME=MF=$\frac{1}{2}$EF，由勾股定理求出ME，即可得出EF的长．

解答 解：（1）连接AC，如图1所示：
∵AH⊥BC，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
∴BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CH=BC-BH=4，
∴CA=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=5，
当⊙C经过点A时，CP=CA=5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，
∵CP=CE，
∴四边形APCE是菱形，
∴PA=CP，
设PA=CP=x，则PH=4-x，
在Rt△APH中，
由勾股定理得：AH²+PH²=PA²，
即3²+（4-x）²=x²，
解得：x=$\frac{25}{8}$，
即⊙C的半径为$\frac{25}{8}$；
作CM⊥EF于M，如图2所示：
则CM=AH=3，ME=MF=$\frac{1}{2}$EF，
在Rt△CEM中，由勾股定理得：
ME=$\sqrt{C{E}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{8}）^{2}-{3}^{2}}$=$\frac{7}{8}$，
∴EF=2ME=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂径定理、平行四边形的判定方法、菱形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．