题目内容

6．如图，已知L1⊥L2，⊙O与L1，L2都相切，⊙O的半径为1cm，直线AB与直线L1所夹的锐角为30°，若⊙O与直线AB沿L2同时向右移动，⊙O的移动速度为2cm/s，直线AB的移动速度为3cm/s，设移动时间为t（s）．

（1）如图，连接OA，则∠OAB的度数为105°；
（2）如图，两个图形移动一段时间后，当直线AB经过圆心，求圆心O移动的距离；
（3）在移动过程中，求当直线AB与⊙O相切时t的值．

分析 （1）连接OA，如图1，利用切线长定理就可求出∠OAC的度数．
（2）设⊙O1与l1的切点为N，连接O1N，如图2，在Rt△A1O1N中，利用三角函数可求出A1N的长，然后再利用A1N=AA1-AE-EN求出t的值，就可解决问题．
（3）分两种情况讨论计算，①当直线AB与⊙O第一次相切时，设⊙O2与直线l1、A2B2分别相切于点F、G，连接O2F、O2G、O2A2，如图3，在Rt△A2O2F中，利用三角函数可求出A2F的长，然后利用AF两种表示方法建立关于t的方程，就可解决问题．
②当直线AB与⊙O第二次相切时，设⊙O2与直线l1、A2B2分别相切于点F、G，连接O2F、O2G、O2A2，如图4，在Rt△A2O2F中，利用三角函数可求出A2F的长，然后利用AF两种表示方法建立关于t的方程，就可解决问题．

解答 解：（1）如图1，

∵L1⊥L2，⊙O与L1，L2都相切，
∴∠OAC=∠OAC=45°，
∵直线AB与直线L1所夹的锐角为30°，
∴∠BAD=60°，
∴∠OAB=105°，
故答案为：105；
（2）如图2，

当O1、A1、B1恰好在同一直线上时，如图②，
设⊙O1与l1的切点为N，
连接O1N，则有O1N⊥l1．
在Rt△A1O1N中，
∵∠O1A1N=∠B1A1D1=60°，
∴O1N=A1N•tan∠O1A1N=$\sqrt{3}$A1N．
∵O1N=1，
∴$\sqrt{3}$A1N=1，
∴A1N=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵A1N=AA1-AE-EN=AA1-OE-OO1=3t-1-2t=t-1，
∴t-1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1，
∴OO1=2t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2．
∴圆心O移动的距离为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2）cm
（3）①当直线AB与⊙O第二次相切时，如图3，

此时⊙O移动到⊙O2的位置，直线AB移动到A2B2的位置，
设⊙O2与直线l1、A2B2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，
则有O2F⊥l1，O2G⊥A2B2，∠GA2O2=∠FA2O2．
∵∠GA2F=∠B2A2D2=60°，
∴∠A2O2F=30°．
在Rt△A2O2F中，
∵O2F=1，∠A2O2F=30°，
∴A2F=O2F•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$A2F=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AF=AA2+A2F=3t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AF=AE+EF=OE+OO2=1+2t，
∴3t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1+2t，
∴t=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴当直线AB与圆O第一次相切时t的值为（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）秒
②当直线AB与⊙O第二次相切时，如图4，

此时⊙O移动到⊙O2的位置，直线AB移动到A2B2的位置，
设⊙O2与直线l1、A2B2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，
则有O2F⊥l1，O2G⊥A2B2，∠GA2O2=∠FA2O2．
∵∠GA2F=∠B2A2D2=60°，
∴∠O2A2F=30°．
在Rt△A2O2F中，
∵O2F=1，∠O2A2F=30°，
∴O2F=A2F•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$A2F=1，
∴A2F=$\sqrt{3}$．
∵AF=AA2-A2F=3t-$\sqrt{3}$，AF=AE+EF=OE+OO2=1+2t，
∴3t-$\sqrt{3}$=1+2t，
∴t=$\sqrt{3}$+1．
∴当直线AB与圆O第二次相切时t的值为（$\sqrt{3}$+1）秒
即：当直线AB与⊙O相切时t的值为（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）秒和（$\sqrt{3}$+1）秒．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质、切线长定理、锐角三角函数等知识，利用一条线段的两种表示方法建立关于t的方程是解决第（2）小题与第（3）小题的关键．

练习册系列答案
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