Question

【题目】已知抛物线：，其中．

（1）以下结论正确的序号有_________；

①抛物线的对称轴是直线； ②抛物线经过定点，；

③函数随着的增大而减小； ④抛物线的顶点坐标为．

（2）将抛物线向右平移个单位得到抛物线．

①若抛物线与抛物线关于轴对称，求抛物线的解析式；

②抛物线顶点的纵坐标与横坐标之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出的取值范围；

③若抛物线与轴交于点，抛物线的顶点为，求间的最小距离．

Answer 1

【答案】（1）①②④；（2）①y=4x2+16x-5，②，③之间的最小距离是．

【解析】

（1）①将抛物线化为顶点式即可得出结果；②将变形为，令x2+4x=0，从而可得出结果；③根据k＞0以及抛物线的对称轴可得出结果；④根据顶点式可得出结果；

（2）①根据平移的性质可得抛物线L1的对称轴为直线，再根据两条抛物线关于y轴对称可得出关于k的方程，解得k即可得出结果；

②根据平移的性质可得出抛物线L1的解析式为，其顶点坐标为，再根据，，消去k可得出x，y之间的函数关系式，同时结合k＞0，可得出x的取值范围；

③设点的坐标为，根据两点间的距离公式，可用含a的式子表示出AB的长，结合二次函数的性质可得出AB的最小值．

解：（1）∵，

∴抛物线的对称轴是直线x=-2，顶点坐标为（-2，-4k-5），

故①、④正确；

将变形为，

令x2+4x=0，解得x=0或x=-4，

∴抛物线经过定点（0，-5），（-4，-5），

故②正确；

∵k＞0，抛物线的对称轴为直线x=-2，

∴当x＜-2时，y随x的增大而减小；当x＞-2时，y随x的增大而增大，

故③错误；

故答案为：①②④；

（2）①∵将抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线的对称轴是直线，∴抛物线的对称轴是直线，

∵抛物线与抛物线关于轴对称，

∴，∴，

∴平移后的抛物线的解析式为y=4x2+16x-5；

②∵，

∴抛物线：的顶点坐标为，

∴抛物线L向右平移k个单位后的抛物线的顶点坐标为，

∴，则，

∴，

∵，，

∴，∴，

∴与的函数关系式为；

③中令x=0，则y=-5，∴．

点是直线上的动点，设点的坐标为，

则，

∴当a=时，线段有最小值，最小值是．

即之间的最小距离是．