Question

13．如图是抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点A的坐标为（-1，2），与x轴的一个交点B的坐标为（-3，0），直线y₂=mx+n与抛物线交于A、B两点．下列结论：①2a-b=0；②abc＜0；③a+b+c=0；④方程ax²+bx+c=5没有实数根；⑤当y₁＜y₂时，x＞-1．其中正确的是（　　）

• A． ①③④
• B． ①③④⑤
• C． ①③⑤
• D． ②③④⑤

Answer 1

分析 利用图象判定①；利用抛物线顶点A可判定①；利用抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点判定②；根据抛物线的对称性求得另一个交点坐标进而即可判定③；根据抛物线的最大值即可判定④；利用图象判定⑤．

解答 解：∵顶点A的坐标为（-1，2），
∴对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a，
∴2a-b=0，故①正确；
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，∴b＜0，
∵交y轴正半轴，∴c＞0，
∴abc＞0，故②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（-1，2），与x轴的一个交点B的坐标为（-3，0），
∴与x轴的另一个交点是（1，0），
∴当x=1时，y=0，
∴a+b+c=0，故③正确；
∵抛物线的最大值为2，
∴抛物线y=ax²+bx+c与直线y=5没有交点，
∴方程ax²+bx+c=5没有实数根，故④正确；
∵由图象可知，当x＞-1时，有y₁＜y₂，故⑤正确；
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．