题目内容
【题目】如图1，抛物线
与抛物线
相交y轴于点C，抛物线
与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线
交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且
．
（1）求抛物线的解析式与k的值；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连接
，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与
相似，求出
的长；
（3）如图2，过抛物线上的动点G作
轴于点H，交直线于点Q，若点
是点Q关于直线
的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，k的值为
；（2）
的长为
或10；（3）存在，点G的横坐标为
或
或
或
．
【解析】
（1）根据抛物线
可求得点C的坐标，代入
即可求得t的值，由
，求得点N的坐标，进而求得k的值；
（2）因为∠AOC=∠EDA=90°已确定，所以分两种情况讨论△BDA与△AOC相似，通过对应边的比相等可求出DE的长；
（3）先根据题意画出图形，通过轴对称的性质等证明四边形QMQ'G为菱形，分别用字母表示出Q，G的坐标，分两种情况讨论求出GQ'的长度，利用三角函数可求出点G的横坐标．
（1）当
时，
，
∴点C的坐标为 (0，4)，
∵点C (0，4)在抛物线的图象上，
∴
，
∴
，
∴抛物线
的解析式为，
∵C (0，4)，，
∴
，
∴点N的坐标为 (
，0)，
∵直线
过N (，0)，
∴
,
解得
,
∴抛物线的解析式为，k的值为；
（2）连接
，
令
，则
,
解得
，
∴点A的坐标为 (
，0)，点B的坐标为 (4，0)，
∴抛物线的对称轴为直线
．
∴点A的坐标为 (
，0)，
∵C (0，4)，
∴
，
，
，
①当
时，
，
∴
，
∴
；
②当
时，
，
∴
，
∴
，
综上，的长为或10；
（3）如图，点
是点Q关于直线
的对称点，且点在y轴上时，
由轴对称性质可知，
，
，
，
∵
轴，∴
轴．
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴四边形
为菱形，
∴
，
作
轴于点P，
设
，
则
，
∴
，
，
∵，
∴
，
令，则
，令
，则
，
∴直线
与坐标轴的交点分别为M (0，3)，N(，0)，
∴OM=3，ON=4，
在
中，
，
∴
，
∴
，
解得
，
，
，
，
经检验，，，都是所列方程的解，
综上，点G的横坐标为或或或．
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