Question

如图，在矩形ABCD中，，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：

①∠AEB=∠AEH    ②DH=    ③      ④

其中正确命题的序号是        （填上所有正确命题的序号）.

Answer 1

①③.

【考点】矩形的性质；等腰（直角）三角形的判定和性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定和性质；直角三角形斜边上的中线的判定；勾股定理；相似三角形的判定和性质；特殊元素法和方程思想的应用.

【分析】①∵在矩形ABCD中，，∴不妨设，则.

∵∠ADC的平分线交边BC于点E，∴是等腰直角三角形.∴.

∴.∴.

∴.故命题①正确.

②∵是等腰直角三角形，∴.

∵是等腰直角三角形，∴.∴.

不难证明，∴.∴.故命题②错误.

③∵，∴.∴。

∵，∴.

∴.∴是斜边上的中线.∴.故命题③正确.

④如答图，延长AB至G，使BG=BF，连接CG，

在中，，

∴根据勾股定理得.

设，则.

在中，根据勾股定理得.

易证明，∴.

∴.

∴.

∴.

又∵.

∴.故命题④错误.

综上所述，正确命题的序号是①③.