Question

18．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡
AB的坡度i=1：$\sqrt{3}$，AB=20米，AE=30米．
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．

Answer 1

分析 （1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．

解答 解：（1）过B作BG⊥DE于G，
Rt△ABH中，i=tan∠BAH=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=10米；

（2）∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，
∴四边形BHEG是矩形．
∵由（1）得：BH=10，AH=10$\sqrt{3}$米，
∴BG=AH+AE=（10$\sqrt{3}$+30）米，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=10$\sqrt{3}$+30．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米，
∴DE=$\sqrt{3}$AE=30$\sqrt{3}$米．
∴CD=CG+GE-DE=10$\sqrt{3}$+30+10-30$\sqrt{3}$=40-20$\sqrt{3}$（米）．
答：宣传牌CD高约（40-20$\sqrt{3}$）米．

点评 此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．