Question

3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点F是AC上一点，连结BF，DF．
（1）证明：△ABF≌△ADF；
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）首先得出△ABC≌△ADC（SSS），进而利用全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF（SAS）；
（2）利用平行线的性质得出∠BAC=∠DCA，进而得出AB=DC，再利用平行的判定方法得出答案．

解答 （1）证明：在△ABC和△ADC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAF=∠DAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADF（SAS）；

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAF=∠ADC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
由（1）得：AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出△ABC≌△ADC（SSS）是解题关键．