Question

3．如图1，已知点E在正方形ABCD的边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？请给出证明；
②在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，AG=EC，∠BAE=∠CEF，∠AGE=∠ECF=180°-45°=135°，则△AGE≌△ECF；
（2）①成立，作辅助线，仍然证明△AHE≌△ECF得出结论；
②存在，如图3，过D作DM⊥AE交AB于点M，构成四边形DMEF，证明四边形为平行四边形即可．

解答 （1）解：如图1，取AB的中点G，连接EG，
△AGE与△ECF全等；
（2）①若点E在线段BC上滑动时，AE=EF总成立．
证明：如图2，在AB上截取AH=EC，连接EH，
∵AB=BC，
∴BH=BE，
∴△HBE是等腰直角三角形，
∴∠AHE=180°-45°=135°，
又∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AHE=∠ECF．
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF；
②答：存在，如图3，
过D作DM⊥AE交AB于点M，
则有：DM∥EF，连接ME、DF，
∵在△ADM与△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}AD=AB\\∠ADM=∠BAE\\∠BAD=∠ABE\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BAE（AAS），
∴MD=AE，
∵AE=EF，
∴MD=EF，
∵MD∥EF，
∴四边形DMEP为平行四边形．

点评 本题是四边形的综合题，综合考查了平行四边形、正方形、全等三角形的性质和判定，解决此类题的思路为：构造两个三角形全等；熟练掌握正方形的性质是本题的关键．