Question

15．如图，⊙O的直径AB=10CM，弦长AC=6CM，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求BC的长；
（2）求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．
（2）求得AD和BD的长后利用三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²，AB=10cm，AC=6cm
∴BC²=AB²-AC²=10²-6²=64
∴BC=$\sqrt{64}$=8（cm）；

（2）∵CD平分∠ACB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
又∵在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²
∴AD²+BD²=10²
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{100}}{2}$=5$\sqrt{2}$（cm）．
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×（5$\sqrt{2}$）²=25．

点评 本题考查的是圆周角定理及勾股定理、等腰三角形的性质，根据题意得出等腰直角三角形是解答此题的关键．