Question

11．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据PQ∥BC，得出△APQ∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式，求出方程的解即可；
（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，据此得出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；
（3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，根据勾股定理列出方程（8-$\frac{18}{5}$t）²+（6-$\frac{6}{5}$t）²=（2t）²，求得时间t的值；最后根据菱形的面积等于△AQP面积的2倍，进行计算即可．

解答 解：（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，
即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{2t}{8}$，
解得：t=$\frac{20}{9}$，
∴当t=$\frac{20}{9}$时，PQ∥BC；

（2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，
∴PD∥BC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{BC}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{PD}{6}$，
解得$PD=6-\frac{6}{5}t$，
∴△AQP的面积$S=\frac{1}{2}PD×AQ=6t-\frac{6}{5}{t^2}$，
假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S_△AQP=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=24，
∴S_△AQP=12，
而S_△AQP=$6t-\frac{6}{5}{t^2}$，
∴$6t-\frac{6}{5}{t^2}=12$，
化简得：t²-5t+10=0，
∵△=（-5）²-4×1×10=-15＜0，
∴此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；

（3）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．
如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{BC}$，
即$\frac{AD}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{PD}{6}$，
解得：PD=6-$\frac{6}{5}$t，AD=8-$\frac{8}{5}$t，
∴QD=AD-AQ=8-$\frac{8}{5}$t-2t=8-$\frac{18}{5}$t，
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²，
即（8-$\frac{18}{5}$t）²+（6-$\frac{6}{5}$t）²=（2t）²，
化简得：13t²-90t+125=0，
解得：t₁=5，t₂=$\frac{25}{13}$，
∵当t=5时，AQ=10cm＞AC，不合题意，舍去，
∴t=$\frac{25}{13}$，
∵当t=$\frac{25}{13}$时，S_△AQP=$6t-\frac{6}{5}{t^2}$=6×$\frac{25}{13}$-$\frac{6}{5}$×（$\frac{25}{13}$）²=$\frac{1200}{169}$cm²，
∴S_{菱形AQPQ′}=2S_△AQP=2×$\frac{1200}{169}$=$\frac{2400}{169}$cm²．
故存在时刻t=$\frac{25}{13}$s，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为$\frac{2400}{169}$cm²．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质，三角形的面积计算，勾股定理的逆定理，解一元二次方程以及相似三角形的性质和判定的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解．