Question

如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H，设EF=x，
（1）当x为何值时，矩形EFPQ是正方形；
（2）当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）由条件可得

AH

AD

=

EF

BC

，且AH=AD-HD，当矩形EFPQ为正方形时，有HD=EF=x，代入可求得x的值；
（2）可利用

AH

AD

=

EF

BC

，用x表示出HD，表示出矩形EFPQ的面积，利用二次函数可求得其最大值；
（3）当0≤t＜2时，设矩形EFPQ与AB、AC的交点分别为M、N、R、S，可利用平行表示出MN的长，可表示出△EMS和△NFR的面积，进一步可表示出重叠部分的面积；当2≤t≤4时，重叠部分为△P′Q′A，利用平行分别用x表示出其底和高，可表示出面积．

解答：解：（1）∵四边形EFPQ为矩形，
∴EF∥BC，
∴

AH

AD

=

EF

BC

，
当矩形EFPQ为正方形时，HD=EF=x，
∴AH=AD-HD=4-x，且BC=5，
∴

4-x

4

=

x

5

，
解得x=

20

9

．
即当x为

20

9

时，矩形EFPQ为正方形；
（2）由（1）可知

4-HD

4

=

x

5

，
∴HD=4-

4

5

x，
∴S_矩形EFPQ=EF•FQ=EF•HD=x（4-

4

5

x）=-

4

5

x²+4x，
该函数为开口向下的二次函数，故当x=

5

2

时有最大值，最大值为5，
即当x为

5

2

时，矩形的面积有最大值5；
（3）由（2）可知，当矩形面积取最大值时，EF=

5

2

，FQ=2，
①当0≤t≤2时，如图1，设矩形与AB、AC分别交与点M、N、R、S，与AD交于J、L，连接RS，交AD于K，

由题意可知LD=JK=t，则AJ=AD-LD-JL=4-t-2=2-t，
又∵RS=

5

2

，
∴R、S为AB、AC的中点，
∴AK=

1

2

AD=2，ES=FR=JK=t，
又∵MN∥RS，
∴

AJ

AK

=

MN

RS

，即

2-t

2

=

MN

5 2

，
∴MN=

5

2

-

5

4

t，
∴EM+FN=EF-MN=

5

2

-（

5

2

-

5

4

t）=

5

4

t，
∴S_△EMS+S_△FNR=

1

2

ES（EM+FN）=

1

2

t•

5

4

t=

5

8

t²，
∴S=S_矩形EFPQ-（S_△EMS+S_△FNR）=5-

5

8

t²；
②当2＜t≤4时，如图2，设矩形与AB、AC、AD分别交于点Q′、P′、D′，

根据题意D′D=t，则AD′=4-t，
∵PQ∥BC，
∴

P′Q′

BC

=

AD′

AD

，即

P′Q′

5

=

4-t

4

，
解得P′Q′=5-

5

4

t，
∴S=S_△AP′Q′=

1

2

P′Q′•AD′=

1

2

（4-t）（5-

5

4

t）=

5

8

t²-5t+10；
综上可知S=

5- 5 8 t2(0≤t≤2) 5 8 t2-5t+10(2＜t≤4)

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及函数的性质，在（1）和（2）中分别用x表示出矩形的面积是解题的关键，在（3）中确定出重叠部分的图形是解题的关键．