Question

8．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=$\frac{3}{5}$，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，那么$\frac{B′D}{CD}$等于（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{7}{20}$

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先求出BM的长度，进而求出AC、BB′的长度；证明△A′DC∽△ADB′，得$\frac{B′D}{CD}=\frac{AB′}{A′C}$=$\frac{7}{20}$，即可解决问题．

解答 解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，
∵∠C=90°，cosB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$；设BC=3λ，则AB=5λ，
由勾股定理得AC=4λ，
由射影定理得：BC²=BM•AB，
∴BM=$\frac{9}{5}λ$．由旋转变换的性质得：
CB=CB′，A′C=AC=4λ，∠A′=∠A；而CM⊥BB′，
∴B′M=BM，AB′=5λ-$\frac{18}{5}λ$=$\frac{7}{5}λ$，
∵∠A′=∠A，∠A′DC=∠ADB′，
∴△A′DC∽△ADB′，
∴$\frac{B′D}{CD}=\frac{AB′}{A′C}$=$\frac{7}{20}$，
故选D．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．