Question

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，点M为圆心，A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（4，0），D点的坐标为（0，﹣4）．

（1）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

（2）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量x的取值范围．

（3）你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式吗？能，请写出过程，不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，

∴CM⊥CE，

又∵A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（4，0），AB为半圆的直径，点M为圆心，

∴M点的坐标为（1，0），

∴AO=2，BO=4，OM=1．又因为CO⊥x轴，所以CO2=AO•OB，解得：CO=2，

又∵CM⊥CE，CO⊥x轴，

∴CO²=EO•OM，

解之得：EO=8，

∴E点的坐标是（﹣8，0），

∴切线CE的解析式为：y=x+2；

（2）根据题意可得：A（﹣2，0），B（4，0）；则设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4）（a≠0），

又∵点D（0，﹣4）在抛物线上，

∴a=；

∴y=x²﹣x﹣4自变量取值范围：﹣2≤x≤4；

（3）设过点D（0，﹣4），“蛋圆”切线的解析式为：y=kx﹣4（k≠0），

由题意可知方程组只有一组解．

即kx﹣4=x²﹣x﹣4有两个相等实根，

∴k=﹣1，

∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=﹣x﹣4；