Question

如图，一台机器的大轮⊙O₁和小轮⊙O₂外切于点C，且两轮分别和板面相切于A，B两点．若⊙O₁的半径为3cm，⊙O₂的半径为1cm，求阴影部分面积．

Answer 1

考点：相切两圆的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：如图，作辅助线；首先求出AD=2，得到O₁D=3-1=2；进而得到∠O₂O₁D=60°，∠O₁O₂B=120°；求出λ=S扇形O1AC+S扇形O2BC=

60π•32

360

+

120π•12

360

=

11π

6

，S梯形ABO2O1=

1

2

(1+3)×2

3

=4

3

，得到S_阴影=4

3

-λ=4

3

-

11π

6

（cm²），即可解决问题．

解答：解：如图，连接O₁O₂，过点O₂作O₂D⊥AO；
∵⊙O₁和⊙O₂外切于点C，
且两轮分别和板面相切于A，B两点，
∴O₁O₂=3+1=4，O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
∴四边形ABO₂D为矩形，
∴AD=O₂B=1，O₁D=3-1=2，
由勾股定理得：O2D=

42-22

=2

3

；
∴cos∠O₂O₁D=

O1D

O1O2

=

2

4

=

1

2

，
∴∠O₂O₁D=60°，∠O₁O₂B=120°，
∴λ=S扇形O1AC+S扇形O2BC
=

60π•32

360

+

120π•12

360

=

11π

6

，
∴S梯形ABO2O1=

1

2

(1+3)×2

3

=4

3

，
∴S_阴影=4

3

-

11π

6

（cm²）．

点评：该题主要考查了相切两圆的性质、勾股定理、扇形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用相切两圆的性质、勾股定理、扇形的面积公式等几何知识点来分析、解答．