Question

12．如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则
①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD⊥BC且AB=BC，那么四边形AEDF是菱形．
以上说法正确的有（　　）

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 都不正确

Answer 1

分析 先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，当∠BAC=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出①正确；
若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出②正确；
当AD⊥BC且AB=BC，不能得出四边形AEDF是菱形，③不一定正确；即可得出结论．

解答 解：①正确；理由如下：
∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，
当∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
②正确；理由如下：
∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠BAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
③不一定正确；
∵AD⊥BC且AB=BC，不能得出四边形AEDF是菱形，
∴③不一定正确；
正确的说法由2个，
故选：B．

点评 此题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．