Question

5．如图，正方形ABCD中，AB=3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为（3$\sqrt{2}$-1）cm．

Answer 1

分析 通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB≌△P′AD，则P′D=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．

解答 解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，
连接BP，
由旋转得：AP=AP′，∠PAP′=90°，
∴∠PAB+∠BAP′=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAP′+∠DAP′=90°，
∴∠PAB=∠DAP′，
∴△PAB≌△P′AD，
∴P′D=PB=1，
在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴BP′=BD-P′D=3$\sqrt{2}$-1，
即BP′长度的最小值为（3$\sqrt{2}$-1）cm．
故答案为：（3$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值最小值．