Question

【题目】如图①，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则：

（1）①的度数是 ；②线段，，之间的数量关系是 ；

（2）如图②，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图②，与交于点，在（2）条件下，若，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①60°，②；（2），证明见解析；（3）4

【解析】

（1）①先判断出∠BAD＝∠CAE，即可判断出△ABD≌△ACE，即可得出结论；

②由①得，△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，即可得出结论；

（2）先判断出BC＝AC，再同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，即可得出结论；

（3）先判断出点A，D，C，E四点共圆，再由AF最小判断出四边形ADCE是矩形，即可得出结论．

（1）①∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60，

由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝60＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ACE＝∠B＝60，

故答案为：60；

②由（1）知，△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD＋CD＝CE＋CD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝BC，

∴AC＝CE＋CD，

故答案为：AC＝CE＋CD；

（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，

∴BC＝=AC，

由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，

∴BC＝BD＋CD＝CE＋CD，

∴AC＝CE＋CD；

（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，

∴∠ACE＝∠ABD，

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABD＝∠ACB＝45，

∴∠ACE＝45，

∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90，

∵∠DAE＝90，

∴∠BCE＋∠DAE＝180，

∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，

∵AC与DE交于点F，

∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，

即：当AF⊥DE时，AF最小，

∴∠CFD＝90，

∴∠CDF＝90°∠ACB＝45°，

∵∠ADE＝45°，

∴∠ADC＝90°，

∴四边形ADCE是矩形，

∴AF最小＝AC＝4．