Question

如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．在BC上取点E，使EC=

1

4

BC，DE和AC相交于点F，设

BA

=

a

，

BC

=

b

，使用

a

、

b

的线性组合表示向量

FD

和

FC

．

Answer 1

考点：*平面向量

专题：

分析：由平行四边形ABCD中，

BA

=

a

，

BC

=

b

，可求得

CD

，

AC

；易证得△ADF∽△CEF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴

CD

=

BA

=

a

，
∴

AC

=

BC

-

BA

=

b

-

a

，

EC

=

1

4

BC

=

1

4

b

，
∴

ED

=

EC

+

CD

=

1

4

b

+

a

，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=DC，
∴△ADF∽△CEF，
∴

DF

FE

=

AF

FC

=

AD

EC

，
∵EC=

1

4

BC，
∴

DF

FE

=

AF

FC

=

1

4

，
∴

FD

=

4

5

ED

=

4

5

（

1

4

b

+

a

）=

1

5

b

+

4

5

a

；

FC

=

1

5

AC

=

1

5

b

-

1

5

a

．

点评：此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用．