Question

已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上的动点（不含B、D）．
（1）证明无论动点P在何处，四边形PMCN的面积总是固定值，这个固定值是多少？
（2）试探究动点P在何处时，四边形PMCN的周长最小，最小值是多少？

Answer 1

考点：菱形的性质,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）利用中位线的性质以及平行线的性质得出△PMN的面积=△BMN的面积=△CMN的面积，进而求出即可；
（2）利用轴对称的性质结合菱形的性质得出MP+NP=QP+NP=QN=5，求出即可．

解答：解：（1）如图所示：

∵M、N分别是边BC、CD的中点，∴MN∥BD．
∴△PMN的面积=△BMN的面积=△CMN的面积，
∴四边形PMCN的面积=

1

4

菱形ABCD的面积=6；

（2）如图所示：

作M关于BD的对称点Q，连接NQ交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
∴四边形PMCN周长最小值是10．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及轴对称求最短路线，正确利用对称性得出P点位置是解题关键．