Question

13．如图，△ABC是等边三角形，点E、F分别在边AB和AC上，且AE=BF．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若∠ABE=20°，求∠ACF的度数；
（3）猜测∠BOC的度数并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AB=CB，∠A=∠ABC=60°，由SAS即可证明△ABE≌△BCF；
（2）由△ABE≌△BCF得到∠ABE=∠BCF，根据角的和差即可得到结论；
（3）由△ABE≌△BCF得到∠ABE=∠BCF，利用外角∠BOC=60°+∠ABE+∠ACF，即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°，
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠ABC}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS）；

（2）∵△ABE≌△BCF，
∴∠BCF=∠ABE=20°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=40°；

（3）∵△ABE≌△BCF，
∴∠ABE=∠BCF，
∵∠BFC=∠A+∠ACF=60°+∠ACF，
∴∠BOC=∠BFO+∠ABE=60°+∠ACF+∠ABE=120°．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．