Question

4．如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．
（1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；
（2）若KD=KG，BC=4-$\sqrt{2}$，求KD的长度．

Answer 1

分析 （1）①先根据AAS判定△DOK≌△BOG，②再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFKG的性质，得出结论BG=AB+AK；
（2）先根据等量代换得出AF=KG=KD=BG，再设AB=a，根据AK=FG列出关于a的方程，求得a的值，进而计算KD的长．

解答 解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO，
∵点O是BD的中点，
∴DO=BO，
∴△DOK≌△BOG（AAS）．

②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC，
又∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠BFA=45°，
∴AB=BF．
∵OK∥AF，AK∥FG，
∴四边形AFGK是平行四边形，
∴AK=FG．
∵BG=BF+FG，
∴BG=AB+AK；

（2）由（1）得，四边形AFGK是平行四边形．
∴AK=FG，AF=KG，
又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG，
∴AF=KG=KD=BG．
设AB=a，则AF=KG=KD=BG=$\sqrt{2}$a，
∴AK=4-$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$a，FG=BG-BF=$\sqrt{2}$a-a，
∴4-$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$a-a，
解得a=$\sqrt{2}$，
∴KD=$\sqrt{2}$a=2．

点评 本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要运用全等三角形的判定与性质．