Question

16．如图1，四边形ABCD是一条河入海口的一部分，AB，CD是河的两岸，AD是河上原有的古桥，由于交通的发展，古桥的通行能边远远不能满足人们出行的需要，为了保护古桥AD，重新规划建一座新桥BC；已知，古桥AD与河岸CD垂直，新桥BC与河岸AB垂直，且BC=AB，CD=210m，tan∠BCD=$\frac{4}{3}$．
（1）分别求古桥DA与新桥BC的长；
（2）因为古桥周边的古建筑比较多，为了保护古建筑，根据规划，建新桥的同时，将对古桥周边设立一个圆形保护区（如图2），圆心O在线段AD上，圆形保护区的边界与BC相切；设保护区半径为R，DO=xm．试求半径R与x的关系式；
（3）如图3，点M是线段CB与DA延长线的交点，若点M到保护区边缘最小距离为110m，求此时的O，D两点间的距离．

Answer 1

分析 （1）点M是线段CB与DA延长线的交点，如图1，先在Rt△CDM中利用正切定义计算出MD=280，再利用勾股定理计算出MC=350，接着证明∠MAB=∠C，由于tan∠MAB=$\frac{BM}{AB}$=$\frac{4}{3}$，于是可设MB=4x，则AB=3x，MA=5x，然后利用MC的长可求出x=50，最后计算BC、MA和AD的长；
（2）点M是线段CB与DA延长线的交点，如图2，利用切线的性质得OP⊥BC，则OP∥AB，于是可证明△MAB∽△MOP，利用相似比得250：（280-x）=150：R，从而得到R与x的关系式；
（3）如图3，⊙P与MD相交于点E，利用ME=110得到DE=170，则R+x=170，然后把（2）中的关系式代入可求出x的值．

解答 解：（1）点M是线段CB与DA延长线的交点，如图1，
∵AD⊥CD，CB⊥AB，
∴∠D=∠ABC=90°，
在Rt△CDM中，∵tanC=$\frac{MD}{CD}$=$\frac{4}{3}$，
∴MD=$\frac{4}{3}$×210=280，
∴MC=$\sqrt{21{0}^{2}+28{0}^{2}}$=350，
∵∠M+∠C=90°，∠M+∠MAB=90°，
∴∠MAB=∠C，
在Rt△MAB中，tan∠MAB=$\frac{BM}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
设MB=4x，AB=3x，则MA=$\sqrt{（3x）^{2}+（4x）^{2}}$=5x，
∵BC=AB=3x，
∴4x+3x=350，解得x=50，
∴BC=3x=150，MA=5x=250，
AD=MD-MA=280-250=30，
答：古桥DA为30m，新桥BC的长为150m；
（2）点M是线段CB与DA延长线的交点，如图2，
∵⊙O与BC相切于点P，
∴OP⊥BC，
∴OP∥AB，
∴△MAB∽△MOP，
∴MA：MO=AB：OP，
即250：（280-x）=150：R，
∴R=-$\frac{3}{5}$x+168（0≤x≤3）；
（3）如图3，⊙P与MD相交于点E，
∵点M到⊙P的最小距离为110，
∴ME=110，
∴DE=280-110=170，
∵OE+OD=DE，
∴R+x=170，
而R=-$\frac{3}{5}$x+168，
∴-$\frac{3}{5}$x+168+x=170，解得x=5，
即此时的O，D两点间的距离为5m．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定与性质；能构建直角三角形，会利用锐角三角函数的定义、勾股定理和相似比进行几何计算．