Question

18．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．那么剪下的扇形ABC（阴影部分）的面积为2π；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）连OA，作OD⊥AC于D，根据垂径定理得到AD=DC，利用含30°的直角三角形三边的关系得到AC=2 $\sqrt{3}$，再利用扇形的面积公式可计算出S_阴影部分的面积；
（2）先根据弧长公式计算出弧BC的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长计算该圆锥的底面圆的半径．

解答 解：连OA，作OD⊥AC于D，如图，
则AD=DC，
∵∠BAC=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴AD=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影部分=$\frac{60π×（{2\sqrt{3}）}^{2}}{360}$=2π；

（2）∵弧BC的长=$\frac{60π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，
∴圆锥的底面圆的半径=$\frac{\frac{2\sqrt{3}π}{3}}{2π}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：2π；$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和扇形的面积公式．