在四边形OABC中.AB∥OC.∠OAB=90°.∠OCB=60°.AB=2.OA=2$\sqrt{3}$．(1)如图1.连结OB.请直接写出OB的长度,(2)如图2.过点O作OH⊥BC于交BC于H.动点P从点H出发.沿线段HO向点O运动.动点Q从点O出发.沿线段OA向点A运动.两点同时出发.速度都为每秒1个单位长度.设点P运动的时间为t秒.△OPQ的面积为S．①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

在四边形OABC中，AB∥OC，∠OAB=90°，∠OCB=60°，AB=2，OA=2$\sqrt{3}$．
（1）如图1，连结OB，请直接写出OB的长度；
（2）如图2，过点O作OH⊥BC于交BC于H，动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，设点P运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S（平方单位）．
①求S与t之间的函数关系式；
②设PQ与OB交于点M，当△OPM等等腰三角形时，试求出△OPQ的面积S的值．

分析（1）根据勾股定理即可求得OB的长；
（2）①根据题意得出△BOC为等边三角形，进而得出OH的长，从而表示出OP的长，进一步表示出P点坐标，进而利用S=$\frac{1}{2}$OQ•x_p求出即可；②利用（i）若OM=PM，（ii）若OP=OM，（iii）若OP=PM，分别分析得出即可．

解答解：（1）∵在Rt△ABO中，AB=2，OA=2$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4；

（2）①如图，建立平面坐标系，

∵tan∠ABO=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°，
∵AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC=60°，
∵∠BCO=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OH=OB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴OH=AO=2$\sqrt{3}$，
∴OP=OH-PH=2$\sqrt{3}$-t，
∴x_p=OP•cos30°=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，y_p=OP•sin30°=$\sqrt{3}$-$\frac{t}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$OQ•x_p
=$\frac{1}{2}$t（3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t （0＜t＜2$\sqrt{3}$），
②若△OPM为等腰三角形，则：
（i）如图2，若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC，

∴PQ∥OC，
∴OQ=y_p
即t=$\sqrt{3}$-$\frac{t}{2}$，
解得：t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此时S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+$\frac{3}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（ii）如图3，若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，

∴∠OQP=45°，
过点P作PE⊥OA，垂足为E，则有：EQ=EP，
即t-（$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t）=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
解得：t=2，
此时S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²+$\frac{3}{2}$×2=3-$\sqrt{3}$；
（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB，
∴PQ∥OA，
此时Q在AB上，不满足题意．