Question

7．如图，已知△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM⊥AE于点M，连结BE．
（1）请判断线段AD、BE之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：AM=CM+BE．

Answer 1

分析 （1）结论：AD=BE．只要证明△ACD≌△BCE即可解决问题．
（2）由AM=AD+DM，AD=BE，只要证明CM=DM即可解决问题．

解答 （1）解：结论：AD=BE，理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．

（2）证明：∵△DCE为等腰直角三角形，∠DCE=90°，
∴∠CDM=45°，
∵CM⊥AE，∴∠DCM=45°，
∴∠CDM=∠DCM=45°，
∴CM=DM，
∵AM=AD+DM，AD=BE，
∴AM=CM+BE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．