Question

13．如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），顶点为P，连接PA，PB，那么称△PAB为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式（写出一个即可）；
（2）若抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等边三角形，求b的值；
（3）若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）不存在“抛物线三角形”，则a、b、c之间应满足怎样的关系式？请直接写出．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质可知P点的纵坐标为AB的一半，据此可设出P、A、B的坐标，可写出抛物线的表达式；
（2）过点P作PH⊥AB于H，由等边三角形的性质可得到PH=$\sqrt{3}$AH，再用b表示出P点坐标，则可得到关于b的方程，可求得b的值；
（3）由条件可知P、A、B三点不能构成三角形，则可知A、B重合或没有A、B两点，即抛物线与x轴有一个或没有交点，则可得到a、b、c的关系．

解答 解：
（1）不妨设抛物线的对称轴为y轴，即设抛物线解析式为y=-x²+c（c＞0），
则P（0，c），A（-$\sqrt{c}$，0），B（$\sqrt{c}$，0），
∵△PAB为等腰直角三角形，
∴OP=OA=OB，即c=$\sqrt{c}$，解得c=1，
∴“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式可以为y=-x²+1；

（2）如图，过点P作PH⊥AB于H，

∵△PAB是等边三角形，
∴PH=$\sqrt{3}$AH，
∵抛物线y=-x²+bx（b＞0）的顶点坐标为（$\frac{b}{2}$，$\frac{{b}^{2}}{4}$），
∴$\frac{{b}^{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}b}{2}$，解得b=2$\sqrt{3}$；

（3）当抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）不存在“抛物线三角形”，
则P、A、B三点不能构成三角形，即抛物线与x轴有一个或没有交点，
∴方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根或没有实数根，
∴b²-4ac≤0．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、一元二次方程与抛物线的关系等知识．在（1）（2）中利用抛物线线三角形的定义结合直角三角形得到P点纵坐标和AB的关系是解题的关键，在（3）中确定出抛物线满足的条件是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大，关系是理解抛物线三角形的定义．