Question

12．如图，一次函数y=-x+3的图象与x，y轴分别交于点A，B，点C、点B关于点M（0，2）对称．
（1）求C点坐标；
（2）设过B、C两点的圆的圆心为P
①若P点横坐标为-3，圆P交x轴于点E、F（E在F的左侧），分别求sin∠BEC和sin∠BFC的值；
②对于常数a（a＞1），x轴上是否存在点Q，使得sin∠BQC=$\frac{1}{a}$？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出点A，B的坐标，然后根据点C、点B关于点M（0，2）对称，求出C点坐标是多少即可．
（2）①首先求出圆心的坐标和圆的半径，然后连接BP并延长交⊙P于点G，根据圆周角定理，可得∠BEC=∠BFC=∠BGC，据此求出sin∠BEC和sin∠BFC的值是多少即可．
②x轴上存在点Q，使得sin∠BQC=$\frac{1}{a}$．首先根据sin∠BQC=$\frac{1}{a}$，分别求出圆的半径、圆心的坐标各是多少；然后求出圆的解析式，令y=0，即可求出点Q的坐标．

解答 解：（1）∵一次函数y=-x+3的图象与x，y轴分别交于点A，B，
∴A（3，0）、B（0，3），
又∵点C、点B关于点M（0，2）对称，
∴C点坐标是（0，1）．

（2）如图1，连接BP并延长交⊙P于点G，，
∵⊙P过B、C两点，
∴圆心P在BC的中垂线上，
∴P点的纵坐标是2，
又∵P点横坐标为-3，
∴P点坐标为（-3，2），半径r=PB=$\sqrt{{（-3-0）}^{2}{+（2-3）}^{2}}=\sqrt{10}$，
根据圆周角定理，可得
∠BEC=∠BFC=∠BGC，
∵∠BCG=90°，
∴sin∠BEC=sin∠BFC=sin∠BGC=$\frac{BC}{BG}=\frac{3-1}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

（3）x轴上存在点Q，使得sin∠BQC=$\frac{1}{a}$．
如图2，
设P（m，2），圆的半径为r，
∵sin∠BQC=$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{2}{2r}=\frac{1}{a}$，
∴r=a，
∴$\sqrt{{m}^{2}{+（2-3）}^{2}}=a$，
解得m=$\sqrt{{a}^{2}-1}$或m=-$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∴圆的解析式是${（x+\sqrt{{a}^{2}-1}）}^{2}$+（y-2）²=a²或${（x-\sqrt{{a}^{2}-1}）}^{2}$+（y-2）²=a²．
①当圆的解析式是${（x+\sqrt{{a}^{2}-1}）}^{2}$+（y-2）²=a²时，
令y=0，
可得x=-$\sqrt{{a}^{2}-1}$+$\sqrt{{a}^{2}-4}$或x=-$\sqrt{{a}^{2}-1}$-$\sqrt{{a}^{2}-4}$．
②当圆的解析式是${（x-\sqrt{{a}^{2}-1}）}^{2}$+（y-2）²=a²时，
由对称性，可得
可得x=$\sqrt{{a}^{2}-1}$+$\sqrt{{a}^{2}-4}$或x=$\sqrt{{a}^{2}-1}$-$\sqrt{{a}^{2}-4}$．
综上，可得
x轴上存在点Q，使得sin∠BQC=$\frac{1}{a}$，
点Q的坐标是（-$\sqrt{{a}^{2}-1}$+$\sqrt{{a}^{2}-4}$，0）、（-$\sqrt{{a}^{2}-1}$-$\sqrt{{a}^{2}-4}$，0）、（$\sqrt{{a}^{2}-1}$+$\sqrt{{a}^{2}-4}$，0）或（$\sqrt{{a}^{2}-1}$-$\sqrt{{a}^{2}-4}$，0）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．