题目内容
20．阅读材料：①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（P，l）
②两条平行线l1，l2，直线上l1任意一点到直线l2的距离，叫做这两条平行线l1，l2之间的距离，记作d（l1，l2）；
③若直线l1，l2相交，则定义d（l1，l2）=0
④对于同一条直线l，我们定义d（l，l）=0．
对于两点P1，P2和两条直线l1，l2，定义两点P1，P2的“l1，l2-相关距离”如下：d（P1，P2|l1，l2）=d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）
设P1（4，0），P2（0，3），l1：y=x，l2：y=$\sqrt{3}$x，l3：y=kx，l4：y=k′x，解决以下问题：
（1）d（P1，P2|l1，l1）=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$，d（P1，P2|l1，l2）=2$\sqrt{2}+$$\frac{3}{2}$
（2）①若k＞0，则当d（P1，P2|l3，l3）最大时，k=$\frac{4}{3}$；
②若k＜0，试确定k的值使得d（P1，P2|l3，l3）最大．
（3）若k′＞k＞0，且，l3，l4的夹角是30°，直接写出d（P1，P2|l3，l4）的最大值$\sqrt{13}$．
分析 （1）首先分别求出d（P1，l1）、d（l1，l1）、d（P2，l1）的值各是多少，再把它们求和，求出d（P1，P2|l1，l1）的值是多少；然后分别求出d（P1，l1）、d（l1，l2）、d（P2，l2）的值各是多少，再把它们求和，求出d（P1，P2|l1，l2）的值是多少即可．
（2）①首先作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，连接P1P2交l3于点C，然后根据P1A+P2B≤P1P2，可得当P1P2⊥l3时，P1A+P2B的值最大，据此求出k的值是多少即可．
②首先作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，P1、P3关于原点对称，P3C⊥l3于点C，P2P3交l3于点D，然后根据P2B+P3C≤P2P3，可得当P2P3⊥l3时，P2B+P3C取到最大值，据此求出k的值是多少即可．
（3）首先作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l4于点B，然后求出d（P1，P2|l3，l4）=d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）=$\sqrt{13}$sin（α+γ）（其中tanγ=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$），据此判断出d（P1，P2|l3，l4）的最大值是多少即可．
解答 解：（1）∵P1（4，0），P2（0，3），l1：y=x，l2：y=$\sqrt{3}$x，
∴d（P1，P2|l1，l1）=d（P1，l1）+d（l1，l1）+d（P2，l1）
=$\frac{4}{\sqrt{2}}$+0+$\frac{3}{\sqrt{2}}$
=2$\sqrt{2}+\frac{3}{2}\sqrt{2}$
=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$
∴d（P1，P2|l1，l2）=d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）
=$\frac{4}{\sqrt{2}}$+0+$\frac{|\sqrt{3}×0-1×3|}{\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+（-1）}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}+$$\frac{3}{2}$
（2）①如图1，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，连接P1P2交l3于点C，
，
d（P1，P2|l3，l3）=d（P1，l3）+d（l3，l3）+d（P2，l3）=P1A+P2B，
∵P1A≤P1C，P2B≤P2C，
∴P1A+P2B≤P1P2，
∴当P1P2⊥l3时，
P1A+P2B的最大值是：$\sqrt{{{OP}_{1}}^{2}{+{OP}_{2}}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}=5$，
此时k=tan∠OP2P1=$\frac{{OP}_{1}}{{OP}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴若k＞0，当d（P1，P2|l3，l3）最大时，k=$\frac{4}{3}$．
②如图2，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，P1、P3关于原点对称，P3C⊥l3于点C，P2P3交l3于点D，
，
∵P1、P3关于原点对称，
∴P1A=P3C，
∴d（P1，P2|l3，l3）=d（P1，l3）+d（l3，l3）+d（P2，l3）=P1A+P2B=P2B+P3C，
∵P2B≤P2D，P3C≤P3D，
∴P2B+P3C≤P2P3，
∴当P2P3⊥l3时，
P2B+P3C的最大值是：$\sqrt{{{OP}_{3}}^{2}{+{OP}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
此时k=-tan∠OP2P3=-$\frac{{OP}_{3}}{{OP}_{2}}$=-$\frac{4}{3}$，
∴若k＜0，当d（P1，P2|l3，l3）最大时，k=-$\frac{4}{3}$．
（3）如图3，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l4于点B，
，
设∠AOP1=α，∠BOP2=β，
则β=90°-30°-α=60°-α，
∴d（P1，P2|l3，l4）=d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）
=P1A+P2B
=OP1sinα+OP2sinβ
=4sinα+3sinβ
=4sinα+3sin（60°-α）
=$\frac{5}{2}$sinα+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cosα
=$\sqrt{13}$sin（α+γ）（其中tanγ=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）
∴当α+γ=90°，即α=90°-arctan$\frac{3\sqrt{3}}{5}$时，
$\sqrt{13}$sin（α+γ）的最大值是$\sqrt{13}$，
∴d（P1，P2|l3，l4）的最大值是$\sqrt{13}$．
故答案为：$\frac{7}{2}\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}+$$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{3}$，$\sqrt{13}$．
点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力，解答此题的关键是理解d（P1，P2|l1，l2）=d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）的意义和求法．
（2）此题还考查了三角函数的最值的求法，要熟练掌握．
已知：CA=CB，AG=CG，AE=BE，∠ADB=∠CAB．求证：AF=DF．
如图，点O与线段AB在同一平面内，AO=AB=2，绕点O将线段AB旋转一周，则线段AB扫过的最小面积为4π．
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，BF交AC于点M，连接CF．
如图，南开中学高二年级的学生分别在五云山寨M，N两处参加社会时间活动．先要在道路AB，AC形成的锐角∠BAC内设一个休息区P，使P到两条道路的距离相等，并且使得PM=PN，请用直尺和圆规作出P点的位置（不写作法，值保留作图痕迹）．