Question

6．已知关于x的方程（m-1）x²-2mx+m+1=0．
（1）此方程有实数根吗？请说明理由；
（2）若此方程有两个实数根，且两个根都为正整数，则整数m的值为？

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式△=b²-4ac≥0解答即可；
（2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为$1+\frac{2}{m-1}$，只需要求出$\frac{2}{m-1}$是正整数时m的值即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程（m-1）x²-2mx+m+1=0有实数根，
∴m-1≠0，且△=b²-4ac=（-2m）²-4（m-1）•（m+1）=4≥0，
所以方程有实数根；
（2）∴x₁=$\frac{2m-2}{2（m-1）}=1$，
x₂=$\frac{2m+2}{2（m-1）}=\frac{m+1}{m-1}$，
x₂=$\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}$，
∵方程的两个根都是正整数，
∴$\frac{2}{m-1}$是正整数，
∴m-1=1或2
∴m=2或3．

点评 本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式与根的个数的关系，此题难度不大．