Question

11．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在线段BC的延长线上，且CE=CD，点F是直线CD上的动点，以EF为边作正三角形EFG，若GE⊥BE，则DF=3-$\sqrt{3}$或3+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意可以得到∠FEC的度数，然后根据题目中的条件和锐角三角函数，可以求得DF的长．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为3，点E在线段BC的延长线上，且CE=CD，
∴BE=6，CE=CD=3，
∵△EFG是等边三角形，GE⊥BE，
∴∠FEC=30°，
∴tan∠FEC=$\frac{CF}{CE}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{CF}{3}$，
∴CF=$\sqrt{3}$，
∵CD=3，
∴DF=CD-CF=3-$\sqrt{3}$或DF=CD+CF=3+$\sqrt{3}$，
故答案为：3$-\sqrt{3}$或3+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正方形的性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．