Question

已知抛物线（其中a ≠ c且a ≠0）.
（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）
（2）若经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为，
求此抛物线的解析式；
（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线与 y轴的交点为C，若
，求点P的坐标；
（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N， 则N关于n的函数关系式为        .

Answer 1

（1），
（2）
（3）
（4）解析:
解：（1）抛物线与x轴交点的横坐标是关于x的方程（其中a ≠ 0，a ≠c）的解.
解得 ，. ………………………………………………………… 1分
∴ 抛物线与x轴交点的坐标为，.……………………………… 2分
（2）抛物线的顶点A的坐标为.
∵ 经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为，

由③得 c ="0. " ……………………………………………………………3分
将其代入①、② 得  
解得 .
∴ 所求抛物线的解析式为 .…………………………………… 4分
（3）作PE⊥x轴于点E， PF⊥y轴于点F.（如图7）

抛物线的顶点A的坐标，
点B的坐标为，点C的坐标为.
设点P的坐标为.
∵ 点P在x轴上方的抛物线上，
∴ ，且0＜m＜1，.
∴ ，.
∵ ，
∴ .
解得 m=2n，或（舍去）. ………………………………………………5分
将m=2n代入，得.
解得，（舍去）.
∴ .
∴ 点P的坐标为. …………………………………………………………6分
（4）N关于n的函数关系式为N="4n" . ………………………………………………7分
说明：二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值，此时y随x的增大而减小，
∴＜y≤，
其中的整数有，，….
.