Question

20．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是正方形，则△AGE的面积为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先根据正方形的性质和矩形的性质，判定△CFO≌△AOE，并求得AO的长，再判定△AOE∽△ABC，求得OE和AG的长，最后计算△AGE的面积．

解答 解：连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是正方形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠OAB}\\{∠FOC=∠AOE}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO=CO，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∵∠CAB=∠EAO，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}$，即$\frac{OE}{4}=\frac{2\sqrt{5}}{8}$
∴OE=$\sqrt{5}$=OG
∴AG=AO-GO=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$
∵EF⊥AC
∴△AGE的面积=$\frac{1}{2}$×AG×OE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$
故答案为：$\frac{5}{2}$

点评 本题主要考查了正方形的性质，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质．本题若不运用相似三角形，则可以过点F作AB的垂线，构造直角三角形，并运用勾股定理进行计算求解．