Question

8．已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．
①求证：BE=CF；
②求证：BE²=BC•CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE²=BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．

Answer 1

分析 （1）①由正方形的性质知AB=BC、∠ABC=∠BCF=90°、∠ABG+∠CBF=90°，结合∠ABG+∠BAG=90°可得∠BAG=∠CBF，证△ABE≌△BCF可得；
②由RtABG斜边AB中线知MG=MA=MB，即∠GAM=∠AGM，结合∠CGE=∠AGM、∠GAM=∠CBG知∠CGE=∠CBG，从而证△CGE∽△CBG得CG²=BC•CE，由BE=CF=CG可得答案；
（2）延长AE、DC交于点N，证△CEN∽△BEA得BE•CN=AB•CE，由AB=BC、BE²=BC•CE知CN=BE，再由$\frac{CN}{AM}$=$\frac{CG}{GM}$=$\frac{CF}{BM}$且AM=MB得FC=CN=BE，设正方形的边长为1、BE=x，根据BE²=BC•CE求得BE的长，最后由tan∠CBF=$\frac{FC}{BC}$=$\frac{BE}{BC}$可得答案．

解答 解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，
∴∠ABG+∠CBF=90°，
∵∠AGB=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠BAG=∠CBF，
∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
②∵∠AGB=90°，点M为AB的中点，
∴MG=MA=MB，
∴∠GAM=∠AGM，
又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，
∴∠CGE=∠CBG，
又∠ECG=∠GCB，
∴△CGE∽△CBG，
∴$\frac{CE}{CG}$=$\frac{CG}{CB}$，即CG²=BC•CE，
由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，
由①知BE=CF，
∴BE=CG，
∴BE²=BC•CE；

（2）延长AE、DC交于点N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠N=∠EAB，
又∵∠CEN=∠BEA，
∴△CEN∽△BEA，
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{CN}{BA}$，即BE•CN=AB•CE，
∵AB=BC，BE²=BC•CE，
∴CN=BE，
∵AB∥DN，
∴$\frac{CN}{AM}$=$\frac{CG}{GM}$=$\frac{CF}{BM}$，
∵AM=MB，
∴FC=CN=BE，
不妨设正方形的边长为1，BE=x，
由BE²=BC•CE可得x²=1•（1-x），
解得：x₁=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，x₂=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（舍），
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
则tan∠CBF=$\frac{FC}{BC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题主要考查相似形的综合问题，熟练掌握正方形与直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．