Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，令x₀=

b

2a

，给出下列命题：①a＞0；②b＜0；③c＜0；④点（ab，b+c）在第二象限；⑤当x＞x₀时，y随x的增大而减小；⑥y有最小值，且为负数，其中正确的命题有

 

（填入序号）．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：①根据二次函数开口方向可判断a的正负；
②由对称轴大于0可判断b的正负；
③由于二次函数交于y轴负半轴可判断c的正负；
④先分别判断ab与b+c的符号，再根据平面直角坐标系内各象限点的坐标特征即可判断点（ab，b+c）所在的象限；
⑤由二次函数的增减性即可判断；
⑥根据二次函数的性质结合图象即可判断．

解答：解：①∵二次函数开口向上，∴a＞0，故①正确；
②∵对称轴为-

b

2a

＞0，且a＞0，∴b＜0，故②正确；
③∵二次函与y轴负半轴相交，∴c＜0，故③正确；
④∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，
∵b＜0，c＜0，∴b+c＜0，
∴点（ab，b+c）在第三象限，故④错误；
⑤∵y=ax²+bx+c=a（x+

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，x₀=

b

2a

＜0＜-

b

2a

，
∴当x₀=

b

2a

＜x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；当x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；故⑤错误；
⑥∵a＞0，∴图象有最低点，即y有最小值，
∵顶点在第四象限，∴最小值为负数，故⑥正确．
故答案为①②③⑥．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）来说，
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；
③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．