如果点P将线段AB分成两条相等的线段AP和PB.那么点P叫做线段AB的二分点,如果点P1.P2将线段AB分成三条相等的线段AP1.P1P2和P2B.那么点P1.P2叫做线段AB的三分点,依此类推.如果点P1.P2.-.Pn-1将线段AB分成n条相等的线段AP1.P1P2.P2P3.-.Pn-1B.那么点P1.P2.-.Pn-1叫做线段AB的n等分点.如图(1)所示已知点A.B在直线l的同� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如果点P将线段AB分成两条相等的线段AP和PB，那么点P叫做线段AB的二分点（中点）；如果点P₁、P₂将线段AB分成三条相等的线段AP₁、P₁P₂和P₂B，那么点P₁、P₂叫做线段AB的三分点；依此类推，如果点P₁、P₂、…、P_n-1将线段AB分成n条相等的线段AP₁、P₁P₂、P₂P₃、…、P_n-1B，那么点P₁、P₂、…、P_n-1叫做线段AB的n等分点，如图（1）所示

已知点A、B在直线l的同侧，请解答下面的问题；
（1）在所给边长为1个单位的正方形网格中，探究：
①如图（2），若点A、B到直线l的距离分别是4个单位和2个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是3单位．
②如图（3），若点A、B到直线l的距离分别是2个单位和5个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是$\frac{7}{2}$单位．
③由①②可以发现结论：若点A、B到直线l的距离分别是h个单位和t个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是$\frac{h+t}{2}$单位．
（2）如图（4），若点A、B到直线l的距离分别是d₁和d₂，利用（1）中的结论求线段AB的三等分点P₁、P₂到直线l的距离$\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$，$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$
（3）若点A、B到直线l的距离分别是d₁和d₂，点P₁、P₂、…P_n-1为线段AB的n等分点，则第i个n等分点P_i到直线l的距离是$\frac{（n-1）{d}_{1}+i{d}_{2}}{n}$．

分析（1）根据三角形的中位线定理以及梯形的中位线定理进行计算．
（2）设P₁M=x，由（1）中结论可得$\frac{AC+{P}_{2}N}{2}$=x，则P₂N=2x-d₁，由（1）中结论可得$\frac{{P}_{1}M+BD}{2}$=P₂N，即$\frac{x+{d}_{2}}{2}$=2x-d₁，易求即点₁、P₂到直线l的距离分别为$\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$、$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$；
（3）根据（1）、（2）的规律总结第i个n等分点P_i到直线l的距离．

解答解：（1）①如图（2），AB在直线l的同侧，则线段AB的中点P到直线l的距离是$\frac{1}{2}$×（4+2）=3（cm）；
故答案是：3；
②如图（3），若点A、B到直线l的距离分别是2个单位和5个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是：$\frac{2+5}{2}$=$\frac{7}{2}$（单位）．
故答案是：$\frac{7}{2}$；
③由①②可以发现结论：若点A、B到直线l的距离分别是h个单位和t个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是 $\frac{h+t}{2}$单位．
故答案是：$\frac{h+t}{2}$．

（2）如图（4），设P₁M=x，由（1）中结论可得$\frac{AC+{P}_{2}N}{2}$=x，
∴P₂N=2x-d₁，
由（1）中结论可得$\frac{{P}_{1}M+BD}{2}$=P₂N，即$\frac{x+{d}_{2}}{2}$=2x-d₁，
解方程得x=$\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$，
∴P₂N=$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$，即点₁、P₂到直线l的距离分别为$\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$、$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$，
若点A、B到直线l的距离分别是d₁和d₂，利用（1）中的结论求线段AB的三等分点P₁、P₂到直线l的距离 $\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$，$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$．

（3）若点A、B到直线l的距离分别是d₁和d₂，点P₁、P₂、…P_n-1为线段AB的n等分点，则第i个n等分点P_i到直线l的距离是 $\frac{（n-1）{d}_{1}+i{d}_{2}}{n}$．