题目内容
2．如果点P将线段AB分成两条相等的线段AP和PB，那么点P叫做线段AB的二分点（中点）；如果点P1、P2将线段AB分成三条相等的线段AP1、P1P2和P2B，那么点P1、P2叫做线段AB的三分点；依此类推，如果点P1、P2、…、Pn-1将线段AB分成n条相等的线段AP1、P1P2、P2P3、…、Pn-1B，那么点P1、P2、…、Pn-1叫做线段AB的n等分点，如图（1）所示
已知点A、B在直线l的同侧，请解答下面的问题；
（1）在所给边长为1个单位的正方形网格中，探究：
①如图（2），若点A、B到直线l的距离分别是4个单位和2个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是3单位．
②如图（3），若点A、B到直线l的距离分别是2个单位和5个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是$\frac{7}{2}$单位．
③由①②可以发现结论：若点A、B到直线l的距离分别是h个单位和t个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是$\frac{h+t}{2}$单位．
（2）如图（4），若点A、B到直线l的距离分别是d1和d2，利用（1）中的结论求线段AB的三等分点P1、P2到直线l的距离$\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$，$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$
（3）若点A、B到直线l的距离分别是d1和d2，点P1、P2、…Pn-1为线段AB的n等分点，则第i个n等分点Pi到直线l的距离是$\frac{（n-1）{d}_{1}+i{d}_{2}}{n}$．
分析 （1）根据三角形的中位线定理以及梯形的中位线定理进行计算．
（2）设P1M=x，由（1）中结论可得$\frac{AC+{P}_{2}N}{2}$=x，则P2N=2x-d1，由（1）中结论可得$\frac{{P}_{1}M+BD}{2}$=P2N，即$\frac{x+{d}_{2}}{2}$=2x-d1，易求即点1、P2到直线l的距离分别为$\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$、$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$；
（3）根据（1）、（2）的规律总结第i个n等分点Pi到直线l的距离．
解答 解：（1）①如图（2），AB在直线l的同侧，则线段AB的中点P到直线l的距离是$\frac{1}{2}$×（4+2）=3（cm）；
故答案是：3；
②如图（3），若点A、B到直线l的距离分别是2个单位和5个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是：$\frac{2+5}{2}$=$\frac{7}{2}$（单位）．
故答案是：$\frac{7}{2}$；
③由①②可以发现结论：若点A、B到直线l的距离分别是h个单位和t个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是 $\frac{h+t}{2}$单位．
故答案是：$\frac{h+t}{2}$．
（2）如图（4），设P1M=x，由（1）中结论可得$\frac{AC+{P}_{2}N}{2}$=x，
∴P2N=2x-d1，
由（1）中结论可得$\frac{{P}_{1}M+BD}{2}$=P2N，即$\frac{x+{d}_{2}}{2}$=2x-d1，
解方程得x=$\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$，
∴P2N=$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$，即点1、P2到直线l的距离分别为$\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$、$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$，
若点A、B到直线l的距离分别是d1和d2，利用（1）中的结论求线段AB的三等分点P1、P2到直线l的距离 $\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$，$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$．
（3）若点A、B到直线l的距离分别是d1和d2，点P1、P2、…Pn-1为线段AB的n等分点，则第i个n等分点Pi到直线l的距离是 $\frac{（n-1）{d}_{1}+i{d}_{2}}{n}$．
点评 本题考查了两点间的距离和点到直线的距离．解题时，注意数形结合数学思想的应用．
| a | 0.000 001 | 0.001 | 1 | 1000 | 1000 000 |
| $\root{3}{a}$ | 0.01 | 0.1 | 1 | 10 | 100 |
阅读理解应用：我们在课本中学习过，要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，结果如下a-b＞0，a＞b；a-b＜0，a＜b；a-b=0，a=b．