数学活动:图形的变化问题情境:如图(1).△ABC为等腰直角三角形.∠ACB=90°.E是AC边上的一个动点.以CE为边在△ABC外作等腰直角三角形△ECD.∠ECD=90°．连接BE.AD.BE延长线交AD于点P．猜想线段BE.AD之间的数量关系和位置关系．(1)独立思考:请直接写出线段BE.AD之间的数量关系和位置关系.并说明理由,(2)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．数学活动：图形的变化
问题情境：如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，E是AC边上的一个动点（点E与A，C不重合），以CE为边在△ABC外作等腰直角三角形△ECD，∠ECD=90°．连接BE，AD，BE延长线交AD于点P．猜想线段BE，AD之间的数量关系和位置关系．
（1）独立思考：请直接写出线段BE，AD之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）合作交流：“希望”小组受上述问题的启发，将图（1）中的等腰直角△ECD旋转至如图（2）的位置，BE交AC于点M，交AD于点P．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

分析（1）先证明△ACD≌△BCE，得BE=AD，∠CBE=∠CAD，再由对顶角相等可知∠APE=∠ACB=90°，所以BE与AD既垂直，又相等；
（2）结论仍然成立，根据等腰直角三角形的性质证明△ACD≌△BCE，得BE=AD，∠CBE=∠CAD，再由三角形内角和得∠APM=90°，则BE⊥AD．

解答解：（1）BE=AD，BE⊥AD，理由是：
∵△ABC、△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ACD=90°，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
∵∠BEC=∠AEP，
∴∠APE=∠ACB=90°，
∴BE⊥AD；
（2）（1）中的结论仍然成立，BE=AD，BE⊥AD，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∵AC=BC，EC=CD，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
∵∠AME=∠BMC，
∴∠APM=∠ACB=90°，
∴BE⊥AD．

点评本题主要考查了三角形全等的性质和判定，同时要正确判断等腰直角△ECD经过旋转后，与图形构成的两个三角形全等．

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