Question

16．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AC=6$\sqrt{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质得出∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，进而求出△AOE≌△COF（AAS），得出答案即可；
（2）首先求出∠BAC=30°，进而得出∠BEF=2∠OBE，利用勾股定理求出AB即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠ACF}&{\;}\\{∠CFO=∠AEO}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）解：连接OB，如图所示：
∵BF=BE，OE=OF，
∴BO⊥EF，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴BO=$\frac{1}{2}$AC=OA，
∴∠BAC=∠OBA，
又∠BEF=2∠BAC，
∴∠BEF=2∠OBE，
而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE=90°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=9．

点评 此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，得出△AOE≌△COF是解题关键．