Question

【题目】如图，一次函数的图象与抛物线交轴于点，交轴于点，抛物线交轴的另一个交点为点（点的左边）．点为抛物线上一个动点（且点的横坐标满足，过点作轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若为直角三角形，求点的坐标；

（3）在（2）的结论下，点为抛物线上任意一个动点，点为轴上一个动点，则以，，，四点为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）D点坐标为D1（1，0），D2（2，﹣1）；（3）能，，

【解析】

（1）先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；

（2）根据题意，可分为两种情况进行①当点D1为直角顶点时，点D1与点A重合；②当点B为△BD2E2的直角顶点时；分别求出坐标即可；

（3）由题意，利用平行四边形的判定和性质，通过平移直线BD进行讨论，即可求出点P的坐标．

解：（1）由一次函数的图象交x轴于B点，交y轴于C点可得，

∴B（3，0），C（0，3），

把B、C代入抛物线可得，

，

∴

∴抛物线为y=x2﹣4x+3；

（2）分两种情况：

①当点D1为直角顶点时，点D1与点A重合；

令y=0，得x2﹣4x+3=0，

解得：x1=1，x2=3；

∵点B在点A的右边，

∴A（1，0），B（3，0）；

∴D1（1，0）；

②当点B为△BD2E2的直角顶点时；

∵OB=OC，∠BOC=90°，

∴∠OBE2=45°；

当∠E2BD2=90°时，∠OBD2=45°，

∴BO平分∠E2BD2；

又∵D2E2∥y轴，

∴D2E2⊥BO，

∴D2、E2关于x轴对称；

直线BC的函数关系式为y=﹣x+3；

设E2（x，﹣x+3），D2（x，x2﹣4x+3），

则有：（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，

即x2﹣5x+6=0；

解得：x1=2，x2=3（舍去）；

∴当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；

∴D2的坐标为D2（2，﹣1）．

∴D点坐标为D1（1，0），D2（2，﹣1）；

（3）由（2）知，当D点的坐标为D1（1，0）时，不能构成平行四边形；

当点D的坐标为D2（2，﹣1）（即抛物线顶点）时，

平移直线BD交x轴于点N，交抛物线于P；

∵D（2，﹣1），

∴可设P（x，1）；

∴x2﹣4x+3=1，

解得：，；

∴符合条件的P点有两个，

即，．