Question

19．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现，销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具的售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元，（x为整数）月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）如果商店想要每月获得的利润不低于2520元，那么每月用于购进这种玩具的成本需要多少元？
（4）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式；
（2）当y=2520时代入（1）的解析式就可以求出结论；
（3）画出二次函数的大致图象，由二次函数的性质得出答案即可；
（4）根据（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据二次函数的顶点式的性质就可以求出结论．

解答 解：（1）依题意得：
y=（30-20+x）（230-10x）
y=-10x²+130x+2300．
∵每件首饰售价不能高于40元．
∴0≤x≤10．
答：求y与x的函数关系式为：y=-10x²+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10；
（2）当y=2520时，
-10x²+130x+2300=2520
∴x²-13x+22=0，
∴x₁=2，x₂=11，
∵0≤x≤10，
∴x=2，
∴当x=2时，30+x=32．
答：每件首饰的售价定为32元时月销售利润恰好为2520元；
（3）如图，

由题可知：当每件玩具的销售单价上涨了2、3、4、5、6、7、8、9、10、11元，每月获得的利润不低于2520元，
对应的销售量为210、200、190、180、170、160、150、140、130、120，
每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元、2400元．
（4）∵y=-10x²+130x+2300．
∴y=-10（x-6.5）²+2722.5．
∴a=-10＜0．
∴当x=6.5时，y_最大=2722.5．
∴每件首饰的售价定为：30+6.5=36.5元．
答：每件首饰的售价定为36.5元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2722.5元．

点评 本题考查了二次函数的解析式的运用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，二次函数的顶点式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．