Question

【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.

(1)求证: BE=CF;

(2)请探究旋转角等于多少度时,四边形ABDF为菱形,证明你的结论;

(3)在(2)的条件下,求CD的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据旋转的性质得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，即可得到结论；

（2）当旋转角为90时，四边形ABDF为菱形，则△BAE与△CAF均是等腰直角三角形，然后得到AF∥BE，AB∥CF，又由AB=AF，即可得到结论；

（3）由△ACF为等腰直角三角形，则CF=AF=，然后计算CF-DF即可．

解：（1）由旋转可得：△AEF≌△ABC，

∴∠BAC=∠EAF,AB=AC=AE=AF，

∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，

即∠BAE=∠CAF，

∴ 在△BAE和△CAF中

，

∴△BAE≌△CAF，

∴BE=CF；

（2）当旋转角为90时,四边形ABDF为菱形；

理由如下：

∵旋转角为90，

∴∠BAE=∠CAF=90，

∴△BAE与△CAF均是等腰直角三角形，

∴∠ABE=∠ACF=45，

∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=90+45=135，

∴∠ABE+∠BAF=45+135=180，

∴AF∥BE，

又∵∠BAC=∠ACF=45，

∴AB∥CF.

∴四边形ABDF为平行四边形，

∵AB=AF，

∴四边形ABDF为菱形.

（3）在Rt△CAF中，由勾股定理，

∴，

∵四边形ABDF为菱形

∴DF=AB=2.

∴CD=CF－DF=.