Question

【题目】解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．

例题呈现

关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝1，x2＝－2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是　 ．

解法探讨

（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题；

小明的思路

第1步 把1、－2代入到第1个方程中求出m的值；

第2步 把m的值代入到第1个方程中求出的值；

第3步 解第2个方程．

（2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a(x＋m＋2)2＋b＝0中的“x＋2”看作第1个方程中的“x”，则“x＋2”的值为　 ，从而更简单地解决了问题．

策略运用

（3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答．

已知方程 (a2－2b2)x2＋(2b2－2c2)x＋2c2－a2＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状．

Answer 1

【答案】（1）x1＝－1，x2＝－4 （2）1或－2 （3）直角三角形

【解析】

（1）根据题意利用待定系数法求解即可.

（2）把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．

（3）先根据有两个相等的实数根，再根据根于系数的关系列出方程，找到a、b、c的关系，从而判断三角形的形状．

（1）解：将x1＝1，x2＝－2代入到方程a(x＋m)2＋b＝0中，

得 ，

∴ m＋1＝±(m－2)，

解得 m＝

∴ a(＋1)2＋b＝0．

∴ －＝

第2个方程可变形为(x＋＋2)2＝－，

即(x＋)2＝，

解得：x1＝－1，x2＝－4

（2）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0）；

（3）解：∵ (a2－2b2)＋(2b2－2c2)＋(2c2－a2)＝0，

∴ 方程必有一根是x＝1

∴ 方程的两根为x1＝x2＝1．

∴ x1·x2＝1＝ ．

∴ a2＝b2＋c2．

∴ △ABC是一个直角三角形