Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．

（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；

（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；

（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．

Answer 1

【答案】（1）BC∥MD；理由见解析；（2）16；（3）30°．

【解析】

试题分析：（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠C=∠CBM，由此即可得出结论；

（2）先根据AE=16，BE=4得出OB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE的长，进而得出结论；

（3）根据题意画出图形，根据圆周角定理可知，∠M=∠BOD，由∠M=∠D可知∠D=∠BOD，故可得出∠D的度数．

试题解析：（1）BC∥MD．

理由：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∠D=∠CBM，

∴∠M=∠D=∠C=∠CBM，

∴BC∥MD；

（2）∵AE=16，BE=4，

∴OB==10，

∴OE=10-4=6，

连接OC，

∵CD⊥AB，

∴CE=CD，

在Rt△OCE中，

∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得CE=8，

∴CD=2CE=16；

（3）如图2，

∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，

∴∠D=∠BOD，

∵AB⊥CD，

∴∠D=×90°=30°．