Question

9．已知：如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ=$\frac{1}{2}$BP．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定方法SAS可证得△BEC≌△ADB，根据各角的关系及三角形内角、外角和定理可证得∠BPQ=60°，即可得结论．

解答 解：AE=CD，AC=BC，
∴EC=BD；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠ABC=60°，AB=BC，
在△BEC与△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DB}\\{∠C=∠ABC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△ADB（SAS），
∴∠EBC=∠BAD；
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∵∠BPQ是△ABP外角，
∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ，
又∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等边三角形、直角三角形、三角形内角及外角和定理等知识点，是一道难度中等的综合题型．