Question

观察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

；

1

6

=

1

2×3

-

1

2

-

1

3

；

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

…
（1）请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

；
（2）请利用上述规律，解方程：

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

．

Answer 1

考点：分式的加减法

专题：规律型

分析：（1）原式变形后，利用拆项法变形，抵消合并即可得到结果；
（2）方程利用拆项法变形后，即可求出解．

解答：解：（1）原式=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)×n

+

1

n×(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（2）方程变形得：

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

=

1

x+1

，
整理得：

1

x-2

=

2

x+1

，
去分母得：x+1=2x-4，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的根，
则原方程的根是x=5．

点评：此题考查了分式的加减法，弄清题中的拆项法是解本题的关键．