Question

△ABC中，∠ACB=90°，以AB、AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACDG，试探究△AGF的面积与△ABC的面积有怎样的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：△AGF的面积=△ABC的面积，过F作FH⊥GA交AG的延长线于H，根据正方形的性质和已知条件可证明△ACB≌△AHF，所以HF=BC，再根据等底等高的三角形面积相等即可得问题结论．

解答：解：△AGF的面积=△ABC的面积，
理由如下：∵四边形ABEF和四边形ACDG是正方形，
∴AG=AC，AB=AF，∠ACB=∠BAF=90°，
∴∠CAB+∠BAH=∠BAH∠HAF=0=90°，
∴∠CAB=∠FAH，
在△ACB和△AHF中，

∠CAB=∠FAH ∠ACB=∠AHF=90° AB=AF

，
∴△ACB≌△AHF，
∴BC=HF，
∵S_△AGF=

1

2

AG•HF，S_△ACB=

1

2

AC•BC，
∴△AGF的面积=△ABC的面积．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式的运用，解题的根据是正确添加辅助线构造全等三角形进而得到BC=HF．