Question

17．据某气象站观察和预测：发生于A地的热带风暴正向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示．
（1）试求v（km/h）与时间t（h）的函数解析式；
（2）过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线1，据物理学知识可以得到：梯形OABC在直线1左侧部分的面积为t（h）内热带风暴所经过的路程s（km）．
①试求s（km）与时间t（h）的函数解析式；
②若M，N两城分别位于A地正南方向，且距A地为700km和600km，试判断这场热带风暴是否会侵袭到M，N两城？如果会，在热带风暴发生后多长时间它将侵袭到M，N两城？如果不会，请说明理由（结果精确到1h，$\sqrt{5}$≈2.2）

Answer 1

分析 （1）先求出点C的坐标即可得出直线OA的解析式，再求出点B，C坐标即可求出直线BC的解析式；
（2）①分三种情况，利用面积的和差即可得出结论；
②先判断M，N两城是否受到侵袭，然后求出沙尘暴过后30h受到侵袭．

解答 解：（1）当0≤t≤10时，∵A的坐标分别为（10，30），
∴直线OA的解析式为v=3t，
当10＜t≤20时，直线AB的解析式为v=30，
当20＜t≤35时，
∵B，C的坐标分别为（20，30），（35，0）
∴直线BC的解析式为v=-2t+70，

（2）①设直线l交v与t的函数图象于D点，
当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=3t（如图1），
∴S=$\frac{1}{2}•t•3t$=$\frac{3}{2}$t²，

当10＜t≤20时，此时OT=t，AD=ET=t-10，TD=30（如图2）
∴S=S_△AOE+S_矩形ADTE=$\frac{1}{2}$×10×30+30（t-10）=30t-150
当20＜t≤35时，
∵B，C的坐标分别为（20，30），（35，0）
∴直线BC的解析式为v=-2t+70
∴D点坐标为（t，-2t+70），
∴TC=35-t，TD=-2t+70（如图3）
∴S=S_{四边形OABC}-S_△DCT=$\frac{1}{2}$（10+35）×30-$\frac{1}{2}$（35-t）（-2t+70）=-（35-t）²+675 

②∵当t=20时，S=30×20-150=450（km），
当t=35时，S=-（35-35）²+675=675（km），
∵700（km）＞675（km），
∴M城不会受到侵袭，
又∵450＜650＜675，
∴N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间，
由-（35-t）²+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）．
所以在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了待定系数法，几何图形的面积的计算方法，分类讨论的思想，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题．